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中国文化中的西方数学思维:归纳法碰上愚公移山

发布时间:2019-05-18 13:59 来源:未知 编辑:admin

  数学,犹如雨后初霁的天空,一尘不染,阳光万里,然而未免稍觉单调。人文则如漫天云彩,白云苍狗,丰富多变,又会令人眼花缭乱。若得二者相配,蓝天白云,何等赏心悦目? 那么,设想数学与人文之间如能获得沟通,又将会出现怎样的深邃意境呢?

  现在,纯西方的“数学归纳法”真的碰上了 《道德经》 以及 《愚公移山》的东方经典故事。

  如今高中课程中的数学归纳法,目标是要证明对所有的自然数n,命题P(n) 都成立,一个也不能少。教学中,则常以多米诺骨牌作喻。意思是,推倒第一块,接着便会推倒第二块、第三块,直至成千上万块。然而,多米诺骨牌无论制作得怎样精致,总有结束的时候。能够推倒的,毕竟只是有限块。可是数学归纳法所要面对的是自然数全体,要求从有限跨入无限的大门。如此看来,多米诺骨牌对数学归纳法来说,只是形似,没有神似,差得很远呐。

  于是,中国经典 《道德经》 登场了。“道生一,一生二,二生三,三生万物”,这十三个汉字,尽显无限本色。原来,所谓“万物”泛指的“无限”,乃是不断“生”出来的啊。更进一步,“愚公移山”故事里的一段妙语构造了一个“生生不息”的无限思维模型。愚公说:

  “虽我之死,有子存焉;子又生孙,孙又生子;子又有子,子又有孙;子子孙孙无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”

  这里,愚公高调宣布了用“无限”战胜“有限”的胜利。他以自己拥有的世代永续的无限家族,战胜了“山不加增”的有限山体。我们先不去追问愚公为何能够保证自己的各代子孙都能生育的“前提条件”。值得我们关注的结果是,愚公家族已经成为“一代接着一代、没有‘穷匮’、没有中断、没完没了、无穷无尽”的一个无限世代序列。这是实实在在的无限。如按世代的顺序记下来就是自然数1、2、3……全体。换句话说,愚公已经用“子孙都能生育”换来了“世代永续”、“无穷匮”的无限家族,终于越过有限、“跨入了”无限的大门。

  数学归纳法在古希腊数学中已有萌芽。但真正作为一种重要的数学方法,是19世纪皮亚诺提出“自然数公理”前后的事情。如今,在东方的中国,遇上了 《道德经》 和 《列子·汤问》 中的愚公移山故事,二者间有怎样的关联呢。

  既然愚公家族的序列可以做到“无穷匮”,那么用于任何命题列P (n) 行不行呢? 这就要看P (n) 能不能具有愚公家族序列的特性了。如前所说,愚公模型之所以能达到无限,是因为神话人物愚公自动地获得了他的子孙世世代代必定都能够“生”的特殊保证。至于P (n) 的每一代能不能“生”? 那就需要检验了。事实上,数学归纳法本身正是在做这样的检验!

  首先,数学归纳法的第一步是要验证n=1时 P (1) 成立。这相当于P (1)的正确性必须像愚公自己一样要能“生”出来,即有子存焉。其次,要验证已经具有正确性的P (n) 是否如愚公的每一代子孙那样都能“生”,即对任意的n,由P (n) 的正确性能生出P(n+1) 是正确性来。一旦这两步都成立了,P (n) 的正确性序列能够一代代地“生”出下一代了,就可以像愚公家族一样地达到“无穷匮”,无一例外地全部都成立。

  从《道德经》 的三生万物,愚公的生生不息,到“野火烧不尽,春风吹又生”,东方经典的无限观一直和“生”联在一起。一个“生”字,终于使得数学归纳法不再神秘。记得在中学课堂上,学生们对那两步检验的来历往往不知所云。如果读了愚公移山的故事,大概就会“会心一笑”,觉得那不过是在进行能不能“生”的检验而已!

  中国文化经典中,能正面阐述西方数学的并不多。多年来流传“一尺之棰,日取其半,万世不竭”可以接轨于西方的“极限”概念,其实也只是在意境上相通。不过,这样的例子有心去找,还是会有的。近日读韩愈的名句:“草色遥看近却无”,于是联想到拓扑学的“整体与局部”。试想,一个球面,和一个环面 (自行车内胎) 远看确实是不一样的两种曲面结构。球面切一刀,必成两片;而环面剪一刀可以仍是一个整体 (打开变成圆柱面)。这说明二者的曲面结构确实不同。但这种整体性的拓扑性质,必需要远看,近看则无。设或有一只近视的蚂蚁趴在球面和环面上,它分别看到的却都是差不多的一小块平坦的圆片而已。这就是说,那两个不同的结构“近看却无”了。“草色”与拓扑结构,都归于“远看可以,近看则无”的意境。

  这种数学与人文的沟通,初接触时会觉得有些出乎意料,但是细细想想,却又在情理之中了。现在提倡“文理不分”,真希望“文科生”“理科生”,大家都来关注这样的沟通。

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