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教师资格笔试备考:数学归纳法

发布时间:2019-05-18 13:59 来源:未知 编辑:admin

  数学归纳法属于推理与证明中证明中的比较常用的方法,下面我简单说说我自己对数学归纳法的理解。

  设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果证明起始命题P1成立;在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立。

  数学归纳法是以正整数的归纳公理作为它的理论基础,因此,数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题,它能帮助我们判断种种与正整数n有关的猜想的正确性。

  第二步:假设当n=k(k属于正整数且大于或等于n0)时结论正确(归纳假设),证明当n=k+1时结论也正确。

  用数学归纳法进行证明时要分两个步骤,缺一不可。因为证明了第一步就获得了递推的基础,但仅靠这一步你还不能说明结论的普遍性。在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数;证明了第二步就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础,只有把第一步和第二步结合起来,才能获得普遍性的结论,因此,完成了第一步、第二步后,还要做一个总的结论。

  在第二步中,在递推之前,n=k时结论是否成立是不确定的,因此用假设二字,这一步的实质是证明命题对n=k的正确性可以传递到n=k+1时的情况。有了这一步,联系第一步的结论(命题对n=n0成立),就可以知道命题对n0+1也成立,进而再由第二步可知n=(n0+1),即n=n0+2也成立..这样递推下去就可以知道对于所有不小于n0的正整数都成立。在这一步中,n=k时命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1是的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明,不能直接将n=k+1代入命题。

  用数学归纳法证明恒等式时,首先要搞清楚等式两边的结构特点,注意由n=k到n=k+1时等式两边项的变化情况,关键是如何将式子转化为与归纳假设结构相同的形式,以便使用归纳假设。

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