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点连线画多边形解法之递推归纳法

发布时间:2019-05-31 01:10 来源:未知 编辑:admin

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  数学归纳法作为数学的一种常用方法,集归纳、猜想、证明于一体,内容既抽象又具体,蕴涵了非常深刻的数学思想。它是沟通有限和无限的一座桥梁,有了它,能以有限来把握无限。数学归纳法的独到之处,是解决了有限与无限这一矛盾,即运用有限个步骤解决无限多种情况,而实现这一目的的工具是递推思想。小学阶段及时的渗透这种思想,对于以后掌握数学归纳法是非常有利的。

  各种资料上经常说“平面上有若干个点,用这些点为顶点,一共可画出多少个多边形”的题。因涉及的情况较复杂,许多同学用“分类计数”的办法来解答,但往往不是出现“一僧多粥”,就是“多僧无粥”的现象,很难得出正确答案。这样的题不妨从简单的情况入手,从中获得某些启示后,用递推归纳法导出其规律,用以解答出正确答案。下面略举几例加以说明。

  例1 平面上有3或4或5个点,任意三点都不在同一直线个点为顶点,分别可画出多少个不同的三角形?

  分析与解:3个点显然只能画出一个三角形。4个点时,因为在其中选取3个点来画三角形,选第一点时,有4种选法;选第二点时,有3种选法;选第三点时,有2种选法。所以共有(4×3×2=)24(种)选法。但是,若以a、b、c三点为例,选a点后再选b点,与选b点后再选a点,所选出的是同样两个点。在这三点构成的三角形中,选第一条边时有3种选法,选第二条边时有2种选法,选第三条边时,有一种选法。所以同一三角形abc,重复算了6次,故(24÷6=)4(个)。可以画图论证解法正确。同理5个点时,共可画出(5×4×3÷6=)10(个)三角形。n个点时,共可画出〔n×(n-1)×(n-2)÷6〕个三角形。

  例2 平面上有8个点,任意三点都不在同一直线个点为顶点,共可画出多少个不同的四边形?n个点呢?

  n个点时,可画出〔n×(n-1)×(n-2)×(n-3)÷(4×3×2×1)〕个。

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